Problema 6

Si \( a \in \mathbb{R} \) tal que \( a < 0 \), entonces \( \frac{1}{a} < 0 \)

Supóngase lo contrario, i.e. \(a < 0\) y \( \frac{1}{a} \geq 0\). En clase se demostró que no existe \( \frac{1}{0} \in \mathbb R\), y como se está suponiendo que \(a\) y \( \frac{1}{a} \) son inversos multiplicativos, ninguno puede ser cero. Así, \(1/a > 0\).

Por la propiedad de tricotomía, \(-a\) es positivo y \( \frac{1}{a} \) es positivo.

Obs. En clase se demostró que \(1 < 0\), por lo que 1 es positivo y, por tricotomía, \(-1\) no lo es.

Por el inciso c) del problema 4 se tiene

\(-a\cdot(\frac{1}{a})=-(a\cdot\frac{1}{a})\)

\(-a\cdot(\frac{1}{a})=-1\qquad\text{Inversos multiplicativos}\)

Como \(-a\) y \( \frac{1}{a} \) son ambos positivos, la propiedad de cerradura del producto asegura que \(-a\cdot(\frac{1}{a})\) también es positivo, por lo que \(-1\) es positivo !

Por lo tanto, \(a < 0\Rightarrow \frac{1}{a} < 0\)