Problema 33

P.D. Dados \( a,b \in \mathbb{R} \implies k \in \mathbb{Q}: a < k < b \)

Demostración. Suponga \( a,b \in \mathbb{R} \), de tal modo que \( a < b \) lo cual implica \( b - a > 0 \)

Ahora bien, considere la siguiente fracción: \( \frac{1}{b-a} \). Puesto que \( a \neq b \) no tendremos porblemas de división entre cero y, además como se sabe que \( b - a > 0 \) la fracción será mayor que cero.

Además, note que como \( \frac{1}{b-a} \in \mathbb{R} \) la Propiedad Arquimediana nos dice que \( \exists n \in \mathbb{N} \) tal que \( n > \frac{1}{b-a} \). Esto podemos asegurarlo ya que previamente se demostró que los naturales no están acotados. Por tanto

Note que \( na \in \mathbb{R} \), por tanto, \( na \) puede ser un \( \mathbb{Z} \) o bien un \( \mathbb{Q} \). Para cualesquiera sea el caso, \( na \) siempre tendrá una parte entera.

Así pues, dígase que \( p \in \mathbb{Z} \) es la parte entera de \( na \) de modo que \( p \leq na \). Consecuente de esto, note que \( p \leq na < p +1 \). Por propiedad de la aditividad se puede obtener

Por transitividad de las desigualdades que hemos encontrado podemos observar que

Note que \( p+1 \in \mathbb{Z} \). Así pues, denote \( p+1 = k \). Por tanto,