Problema 5
Si \(a\) es un número real tal que \(a>0\), entonces \(1/a>0\).
Demostración
Supóngase lo contrario, i.e. \(a > 0\) y \( \frac{1}{a} \leq 0\). En clase se demostró que no existe \( \frac{1}{0} \in\mathbb {R} \), y como se está suponiendo que \(a\) y \( \frac{1}{a} \) son inversos multiplicativos, ninguno puede ser cero. Así, \( \frac{1}{a} < 0\).
Por la propiedad de tricotomía, \(a\) es positivo y \( -\frac{1}{a} \) es positivo.
Obs. En clase se demostró que \(1 > 0\), por lo que 1 es positivo y, por tricotomía, \(-1\) no lo es.
Por el inciso c) del problema 4 se tiene
\(a \cdot (-\frac{1}{a}) = - (a \cdot \frac{1}{a})\)
\(a \cdot (-\frac{1}{a}) = - 1 \qquad \text{ Inversos multiplicativos}\)
Como \(a\) y \( -\frac{1}{a} \) son ambos positivos, la propiedad de cerradura del producto asegura que \(a\cdot(-\frac{1}{a})\) también es positivo, por lo que \(-1\) es positivo !
Por lo tanto, \(a > 0\Rightarrow \frac{1}{a} > 0\).