Problema 35

Demostrar que las siguientes funciones son pares, impares o ninguna.
  1. \(f(x)=2x^2-3\)
  2. \(f(x)=-3x^3+2x\)
  3. \(f(x)=10x^3-4x^2+3x-8\)
  4. \(f(x)=-7x^4+x^2\)
  5. \(f(x)=x^3-x^2-1\)

P35.A

P.D. \(f\) definida por \(f(x)=2x^2-3\) es par.
Demostración. \(f(-x)=2(-x)^2-3=2x^2-3=f(x)\) $$f(-x)=f(x)\iff f\text{ es par}\qquad\blacksquare$$

P35.B

P.D. \(f\) definida por \(f(x)=-3x^3+2x\) es impar.
Demostración.\(f(-x)=-3(-x)^3+2(-x)=3x^3-2x=-(-3x^3+2x)=-f(x)\) $$f(-x)=-f(x)\iff f\text{ es impar}\qquad\blacksquare$$

P35.C

P.D. \(f\) definida por \(f(x)=10x^3-4x^2+3x-8\) no es par ni impar.
Demostración. \(f(-x)=10(-x)^3-4(-x)^2+3(-x)-8=-10x^3-4x^2-3x-8\not=f(x)\) y \(f(-x)=-10x^3-4x^2-3x-8\not=-f(x)\) $$f(-x)\not=f(x)\text{ y }f(-x)\not=-f(x)\Longrightarrow f\text{ no es par ni impar}\qquad\blacksquare$$

P35.D

P.D. \(f\) definida por \(f(x)=-7x^4+x^2\) es par.
Demostración. \(f(-x)=-7(-x)^4+(-x)^2=7x^4+x^2=f(x)\) $$f(-x)=f(x)\iff f\text{ es par}\qquad\blacksquare$$

P35.E

P.D. \(f\) definida por \(f(x)=x^3-x^2-1\) no es par ni impar.
Demostración. \(f(-x)=(-x)^3-(-x)^2-1=-x^3-x^2-1\not=f(x)\) y \(f(-x)=-x^3-x^2-1\not=-f(x)\) $$f(-x)\not=f(x)\text{ y }f(-x)\not=-f(x)\Longrightarrow f\text{ no es par ni impar}\qquad\blacksquare$$