Problema 8

\(ab > 0\) si y solo si \(a > 0\) y \(b > 0\) o \(a < 0\) y \(b < 0\).

Demostración. \(\Rightarrow\)) Sea \(ab > 0\).

  1. Sea \(a > 0\). Por el problema 5, \(a^{-1} > 0\),
    2. \(\Rightarrow ab \cdot a^{-1} > 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Propiedad multiplicativa}\)
    \(\Rightarrow a \cdot a^{-1}\cdot b > 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Conmutatividad del producto}\)
    \(\Rightarrow (a \cdot a^{-1})\cdot b > 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Asociatividad del producto}\)
    \(\Rightarrow 1 \cdot b > 0\cdot a^{-1} \qquad \text{Inversos multiplicativos}\)
    \(\Rightarrow b > 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Identidad multiplicativa}\)
    \(\Rightarrow b > 0 \qquad0 \cdot x=0\)
  2. Sea \(a < 0\). Por el problema 6, \(a^{-1} < 0\),
    3. \(\Rightarrow ab \cdot a^{-1} < 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Propiedad multiplicativa}\)
    \(\Rightarrow a \cdot a^{-1} \cdot b < 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Conmutatividad del producto}\)
    \(\Rightarrow (a \cdot a^{-1}) \cdot b < 0 \cdot a^{-1}\qquad\text{Asociatividad del producto}\)
    \(\Rightarrow 1\cdot b < 0\cdot a^{-1} \qquad\text{Inversos multiplicativos}\)
    \(\Rightarrow b < 0 \cdot a^{-1} \qquad \text{Identidad multiplicativa}\)
    \(\Rightarrow b < 0 \qquad 0 \cdot x=0\)
    \(\Leftarrow\)) Sea \(a > 0\) y \(b > 0\) o \(a < 0\) y \(b < 0\).

Si \(a > 0\) y \(b > 0\), \(a\) y \(b\) son ambos positivos y la propiedad de cerradura de la multiplicación asegura que \(ab\) también lo es, por lo que \(ab > 0\).

Si \(a < 0\) y \(b < 0\), \(-a > 0\) y \(-b > 0\), por lo que la propiedad de cerradura de la multiplicación asegura que \((-a)(-b)\) es positivo, y por el inciso d) del problema 4 se tiene que \((-a)(-b) = ab\), por lo que \(ab\) es positivo y \(ab > 0\). \(\blacksquare\)