Problema 4

Si $a$ es un número real cualquiera, entonces:

$-(-a)=a$
$(-1)a=-a$
$a(-b)=(-a)b=-ab$
$(-a)(-b)=ab$
$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}, a\not=0, b\not=0$
$\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, $b\not=0$, $d\not=0$
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$, $c\not=0$
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$, $b\not=0$, $d\not=0$

Teorema 1. $\forall a \in \mathbb{R}, a \cdot 0=0$
Teorema 2. Sean $a, b$ y $c$ números reales. Si $a+c=b+c \implies a=b$

P4.A

P.D. $-(-a)=a$
Demostración
$-a-(-a)=0\quad$ Inversos aditivos
$a-a-(-a)=a+0$
$0-(-a)=a+0\quad$ Inversos aditivos b
$-(-a)=a\quad$ Neutro aditivo
$\blacksquare$

P4.B

P.D. $ (-1)a = -a$
Demostración
$(-1)a=(-1)a+0\quad$ Neutro aditivo
$(-1)a=(-1)a+a+(-a)\quad$ Inversos aditivos
$(-1)a=((-1)a+a)+(-a)\quad$ Asociatividad
$(-1)a=((-1)a+1\cdot a)+(-a)\quad$ Neutro multiplicativo
$(-1)a=(-1+1)a+(-a)\quad$ Distributividad
$(-1)a=(0)a+(-a)\quad$ Inversos aditivos
$(-1)a=0+(-a)\quad$ Teorema 1 de las notas
$(-1)a=-a\quad$ Neutro aditivo
Por lo tanto, $(-1)a=-a$ $\blacksquare$

P4.C

P.D. $a(-b)=(-a)b=-ab$
Demostración
$a(-b)=a((-1)b)\quad$ Propiedad del inciso b
$a(-b)=(a(-1))b\quad$ Asociatividad
$a(-b)=((-1)a)b\quad$ Conmutatividad
$a(-b)=(-a)b\quad$ Propiedad del inciso b
Asociando y conmutando el producto de otra forma, tenemos
$a(-b)=a((-1)b)\quad$ Propiedad del inciso b
$a(-b)=a(-1)b\quad$ Asociatividad
$a(-b)=(-1)ab\quad$ Conmutatividad
$a(-b)=(-1)(ab)\quad$ Asociatividad
$a(-b)=-ab\quad$ Propiedad del inciso b
Así, hemos obtenido las dos equivalencias buscadas. $\blacksquare$

P4.D

P.D. $(-a)(-b)=ab$
Demostración
$(-a)(-b)+0=(-a)(-b)+ab-ab$ Neutro y opuesto aditivo
$=(-a)(-b)+ab+a(-b)$ Propiedad del inciso c
$=((-a)(-b)+a(-b))+ab$ Asociatividad
$=(-b)(-a+a)+ab$ Distributividad
$=(-b)(0)+ab$ Opuesto aditivo
$=ab$ Por Teorema 1 $\blacksquare$

P4.E

P.D. ((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}, a\not=0, b\not=0\)
Demostración
Como todo real distinto de cero tiene inverso multiplicativo, tenemos que: $$aa^{-1}=1, bb^{-1}=1$$ Multiplicando miembro a miembro e igualando: $$(aa^{-1})(bb^{-1})=1$$ Por conmutatividad y asociatividad del producto, podemos reescribir como sigue: $$(a^{-1}b^{-1})(ab)=1$$ Dado que $(ab)$ es un real no nulo, existe su inverso multiplicativo $(ab)^{-1}$. Multiplicando a ambos lados de la igualdad anterior por este inverso tendremos que $$(a^{-1}b^{-1})(ab)(ab)^{-1}=1(ab)^{-1}$$ Finalmente, por el neutro e inverso multiplicativo, obtenemos lo que se quería demostrar. $$a^{-1}b^{-1}=(ab)^{-1} \blacksquare$$

P4.F

P.D. $\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, $b\not=0$, $d\not=0$
Definición 2. $\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}=ab^{-1}$, $b\not=0$
Demostración.
$ \frac{a}{b}\frac{c}{d} = a b^{-1} c d^{-1} $ Definición 2
$ \frac{a}{b}\frac{c}{d} = (ac)(b^{-1}d^{-1}) $ ASociatividad del producto
$ \frac{a}{b}\frac{c}{d}= (ac)(bd)^{-1} $ Por la propiedad del inciso e
$ \frac{a}{b}\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $ Definición 2
$ \blacksquare $

P4.G

P.D. $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$, $c\not=0$
Demostración. $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c}= a c^{-1} + b c^{-1} $ Definición 2
$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = (c^{-1})(a+b) $ Distributividad
$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = (a+b)(c^{-1} $) Conmutatividad del producto
$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c}= \frac{a+b}{c} $ Definición 2
$ \blacksquare $

P4.H

P.D. $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$, $b\not=0$, $d\not=0$
Demostración. $ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = a b^{-1} + c d^{-1} $ Definición 2
$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (a b^{-1}) \cdot 1 + (c d^{-1}) \cdot 1 $ Neutro multiplicativo
$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (a b^{-1})(d d^{-1}) + (c d^{-1})(b b^{-1}) $ Inverso multiplicativo
$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (a d)(b^{-1} d^{-1}) + (c b)(b^{-1} d^{-1}) $ ASociatividad y conmutatividad del producto
$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (a d)(b d)^{-1} + (c b)(b d)^{-1} $ Propiedad del inciso e
$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (ad + cb) (b d)^{-1} $ Distributividad y conmutatividad
$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d}= \frac{ad + bc}{bd} $ Definición 2
$ \blacksquare $