Problema 2

Demuestra que para todo conjunto \(A\), \(B\) y \(C\),

  1. \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)
  2. \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

Lema.

Para cualesquiera proposiciones \(p\), \(q\) y \(r\) se tiene que
  1. \(p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\)
  2. \(p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\)

P2. A

\(\subseteq)\) Sea \(x\in A\cup(B\cap C)\).
\(\iff x\in A\lor x\in(B\cap C)\)
\(\iff x\in A\lor (x\in B\land x\in C)\)
\(\iff (x\in A\lor x\in B)\land (x\in A\lor x\in C)\qquad\text{por i) del Lema}\)
\(\iff x\in A\cup B\land x\in A\cup C\)
\(\iff x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\)
De donde \(A\cup(B\cap C)\subseteq(A\cup B)\cap (A\cup C)\).
\(\supseteq)\) Todos los argumentos son reversibles, por lo que \(A\cup(B\cap C)\supseteq(A\cup B)\cap (A\cup C)\).
Por lo tanto, \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\). \(\blacksquare\)

P2. B

\(\subseteq)\) Sea \(x\in A\cap(B\cup C)\).
\(\iff x\in A\land x\in(B\cup C)\)
\(\iff x\in A\land (x\in B\lor x\in C)\)
\(\iff (x\in A\land x\in B)\lor (x\in A\land x\in C)\qquad\text{por ii) del Lema}\)
\(\iff x\in A\cap B\lor x\in A\cap C\)
\(\iff x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\)
De donde \(A\cap(B\cup C)\subseteq(A\cap B)\cup (A\cap C)\).
\(\supseteq)\) Todos los argumentos son reversibles, por lo que \(A\cap(B\cup C)\supseteq(A\cap B)\cup (A\cap C)\).
Por lo tanto, \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\). \(\blacksquare\)