Problema 12

Obtén el conjunto solución de

$ \lvert 4x-5 \rvert \leq 13 $
$ \lvert x^{2}-1 \rvert \leq 3 $
$ \lvert x-1 \rvert > \lvert x+1 \rvert $
$ \lvert x-3 \rvert < \lvert x+5 \rvert $

P12.A

$ \lvert 4x-5 \rvert \leq 13 $

$$ \begin{align*} \lvert 4x-5 \rvert \leq 13 & \implies -13 \leq \lvert 4x-5 \rvert \leq 13 \end{align*} $$

Caso 1. $ 4x-5 \geq - 13 $
$ 4x \geq - 8 $
$ x \geq -2 $
Caso 2. $ 4x-5 \leq 13 $
$ 4x \leq 18 $
$ x \leq \frac{9}{2} $

$$ \begin{align*} \{ x \mid -2 \leq x \leq \frac{9}{2} \} \end{align*} $$

P12.B

$ \lvert x^{2}-1 \rvert \leq 3 $

$$ \begin{align*} \lvert x^{2}-1 \rvert \leq 3 & \implies -3 \leq \lvert x^{2}-1 \rvert \leq 3 \end{align*} $$

Caso 1. $ x^{2}-1 \geq -3 $
$ x^{2} \geq -2 $
No existe solución en $ \mathbb{R} $ para este caso
Caso 2. $ x^{2}-1 \leq 3 $
$ x^{2} \leq 4 $
$ x^{2} \leq 4 $
$ x \leq \pm 2 $

$$ \begin{align*} \{ x \mid -2 \leq x \leq 2 \} \end{align*} $$

P12.C

$ \lvert x-1 \rvert > \lvert x+1 \rvert $

Note que $ \lvert x-1 \rvert > \lvert x+1 \rvert \implies x < 0 $
$ (x-1)^{2} > (x+1)^{2} \implies x^{2} -2x + 1 > x^{2} +2x + 1 $
$ \implies -2x + 1 > 2x +1 $
$ \implies -4x > 0 $
$ \implies x < 0 $ $$ \begin{align*} \{ x \mid x < 0 \} \end{align*} $$

P12.D

$ \lvert x-3 \rvert < \lvert x+5 \rvert $

Note que $ \lvert x-3 \rvert > \lvert x+5 \rvert \implies x < 0 $
$ (x-3)^{2} > (x+5)^{2} \implies x^{2} -6x + 9 > x^{2} +10x + 25 $
$ \implies -6x + 9 > 10x + 25 $
$ \implies -16x > 16 $
$ \implies x < -1 $ $$ \begin{align*} \{ x \mid x > -1 \} \end{align*} $$