Problema 14

Demuestra que

$x^2 > a\geq 0$ entonces $x > \sqrt{a}$ o $x < -\sqrt{a}$
$x^2 < a\geq 0$ y $a\geq 0$ entonces $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$

Lema

Si $b>a\geq 0$, entonces $\sqrt{b} > \sqrt{a}$.
Demostración
La propiedad multiplicativa garantiza la siguiente afirmación: $$ \sqrt{a} \geq \sqrt{b} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \sqrt{a} \geq \sqrt{b} \sqrt{b}$$ Y la contrapositiva de ese enunciado es $$ \sqrt{b}\sqrt{b} > \sqrt{a}\sqrt{a}\Rightarrow \sqrt{b} > \sqrt{a} $$ Recordando que $a=\sqrt{a}\sqrt{a}$ y $b = \sqrt{b}\sqrt{b}$, esta última afirmación es equivalente a $$ b > a \Rightarrow \sqrt{b} > \sqrt{a} $$ $\blacksquare$

P14.A

Demostración Recuérdese que $\sqrt{x^{2}} = \lvert x \rvert $. Por el lema, se tiene que $x^{2} > a \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x^{2}} > \sqrt{a}$, que es equivalente a $|x| > \sqrt{a}$. En clase se demostró que $|\alpha| > \beta \iff \alpha > \beta \lor \alpha < -\beta$. Por lo tanto, $$ x > \sqrt{a}\lor x < -\sqrt{a} \blacksquare $$

P14.B

Demostración Por el lema, se tiene que $x^{2} < a \geq 0\Rightarrow \sqrt{x^{2}} < \sqrt{a}$, que es equivalente a $|x| < \sqrt{a}$. En clase se demostró que $|\alpha| < \beta\iff -\beta < \alpha < \beta$. Por lo tanto, $$ -\sqrt{a} < x < \sqrt{a} \blacksquare $$