Problema 40

Demuestra que la función

f : R \to R

f (x) = \sin (x)

es continua.

P.D. $lim_{x \to a} \sin (x) = \sin (a)$ .

**Trabajo previo

Nótese que $x = \frac{x + a}{2} + \frac{x - a}{2}$ , y que $a = \frac{x + a}{2} + \frac{a - x}{2}$ . Por la identidad de suma de ángulos se tiene que

\begin{aligned} \sin (x) - \sin (a) & = \sin (\frac{x + a}{2}) \cos (\frac{x - a}{2}) + \sin (\frac{x - a}{2}) \cos (\frac{x + a}{2}) \\ - \sin (\frac{x + a}{2}) \cos (\frac{a - x}{2}) - \sin (\frac{a - x}{2}) \cos (\frac{x + a}{2}) \end{aligned}

Como el seno es impar y el coseno es par se tiene que

\sin (x) - \sin (a) = 2 \sin (\frac{x - a}{2}) \cos (\frac{x + a}{2})

Así, sea

| \sin (x) - \sin (a) | < ε

⟺ 2 | \sin (\frac{x - a}{2}) | | \cos (\frac{x + a}{2}) | < ε

Nótese que

| \cos θ | \leq 1

para cualquier

θ

, y por la definición del seno en la circunferencia unitaria se tiene que

| \sin θ | \leq | x |

(véase el problema 36). Así,

2 | \sin (\frac{x - a}{2}) | | \cos (\frac{x + a}{2}) | < ε

⟺ 2 | \frac{x - a}{2} | < ε

⟺ | x - a | < ε

Demostración. Sea $δ = ϵ$ . Por hipótesis se tiene que $| x - a | < δ$ , y por el trabajo previo se sigue que $| \sin (x) - \sin (a) | < ε$ . Así,

\forall ε > 0 \exists δ > 0 : | x - a | < δ ⟹ | \sin (x) - \sin (a) | < ε

Por lo que $lim_{x \to a} \sin (x) = \sin (a)$ para cualquier $a \in R$ y la función seno es continua. $◼$