Problema 40
P.D. \(\displaystyle \lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a)\).
**Trabajo previo
Nótese que \(x=\frac{x+a}{2}+\frac{x-a}{2}\), y que \(a=\frac{x+a}{2}+\frac{a-x}{2}\). Por la identidad de suma de ángulos se tiene que
$$ \begin{align} \sin(x)-\sin(a) & = \sin \left(\frac{x+a}{2}\right) \cos \left(\frac{x-a}{2}\right) + \sin \left( \frac{x-a}{2} \right) \cos \left( \frac{x+a}{2} \right)\\ & \quad - \sin \left(\frac{x+a}{2}\right) \cos \left(\frac{a-x}{2}\right) - \sin \left( \frac{a-x}{2}\right) \cos \left( \frac{x+a}{2} \right) \end{align} $$Como el seno es impar y el coseno es par se tiene que
$$ \sin(x) - \sin(a) = 2\sin\left(\frac{x-a}{2}\right)\cos\left(\frac{x+a}{2}\right) $$ Así, sea \(|\sin(x)-\sin(a)| < \varepsilon\) $$ \iff 2 \left| \sin \left( \frac{x-a}{2} \right) \right| \left| \cos \left( \frac{x+a}{2} \right) \right | < \varepsilon $$ Nótese que \(|\cos\theta|\leq 1\) para cualquier \(\theta\), y por la definición del seno en la circunferencia unitaria se tiene que \(|\sin\theta|\leq |x|\) (véase el problema 36). Así, $$ 2 \left| \sin \left( \frac{x-a}{2} \right) \right| \left| \cos \left( \frac{x+a}{2} \right) \right | < \varepsilon$$ $$ \iff 2 \left| \frac{x-a}{2} \right| < \varepsilon $$ $$ \iff \left| x-a \right| < \varepsilon $$Demostración. Sea \(\delta=\epsilon\). Por hipótesis se tiene que \(|x-a| < \delta\), y por el trabajo previo se sigue que \(|\sin(x)-\sin(a)| < \varepsilon\). Así,
$$ \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0:|x-a| < \delta\implies |\sin(x)-\sin(a)| < \varepsilon $$Por lo que \(\displaystyle \lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a)\) para cualquier \(a\in\mathbb{R}\) y la función seno es continua. \( \quad \blacksquare\)