Problema 35
Para ello, consideraremos la siguiente proposición cuya demostración se muestra en el problema 40
La función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin(x) \) es continua. Es decir
$$ \lim\limits_{x \to a} \sin(x) = \sin(a). $$Demostración. $$ L=\displaystyle\lim_{x\to0}cos(x) = \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{1-sen^2x} = \displaystyle\lim_{x\to0} \frac{(\sqrt{1-sen^2x}) (\sqrt{1-sen^2x})}{\sqrt{1-sen^2x}} = \displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-sen^2x}{\sqrt{1-sen^2x}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to0} (1-sen^2x)}{\displaystyle\lim_{x\to0} \sqrt{1-sen^2x}} $$ $$ \iff L^2 = \displaystyle\lim_{x\to0} (1-sen^2x) = \displaystyle\lim_{x\to0}1-\displaystyle\lim_{x\to0}sen^2x = \displaystyle\lim_{x\to0}1 - \displaystyle\lim_{x\to0}sen(x) \displaystyle\lim_{x\to0}sen(x) = 1 - sen(0) \cdot sen(0) = 1 $$ $$ \iff L=1 \therefore \displaystyle\lim_{x\to0}cos(x) = 1 $$ \(\blacksquare\)