Problema 35

Demostrar que

lim_{x \to 0} \cos (x) = 1

Para ello, consideraremos la siguiente proposición cuya demostración se muestra en el problema 40

La función $f : R \to R, f (x) = \sin (x)$ es continua. Es decir

lim_{x \to a} \sin (x) = \sin (a) .

Demostración.

L = lim_{x \to 0} c o s (x) = lim_{x \to 0} \sqrt{1 - s e n^{2} x} = lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 - s e n^{2} x}) (\sqrt{1 - s e n^{2} x})}{\sqrt{1 - s e n^{2} x}} = lim_{x \to 0} \frac{1 - s e n^{2} x}{\sqrt{1 - s e n^{2} x}} = \frac{lim_{x \to 0} (1 - s e n^{2} x)}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - s e n^{2} x}}

⟺ L^{2} = lim_{x \to 0} (1 - s e n^{2} x) = lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} s e n^{2} x = lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} s e n (x) lim_{x \to 0} s e n (x) = 1 - s e n (0) \cdot s e n (0) = 1

⟺ L = 1 ∴ lim_{x \to 0} c o s (x) = 1

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