Problema 8

Demostrar que toda sucesión convergente es acotada.

Demostración. Decimos que ${a_{n}}$ está acotada si $\exists M \in R^{+}$ tal que $| a_{n} | \leq M$ para toda $n \in N$ . Por hipótesis, ${a_{n}}$ es convergen te, i.e.

\forall ε > 0 \exists N \in N : n > N ⟹ | a_{n} - L | < ε

En particular, para $ε = 1$ existe $N \in N$ tal que $| a_{n} - L | < 1$ para toda $n > N$ . Luego, obsérvese que

\begin{aligned} | a_{n} | & = | (a_{n} - L) + L | \leq | a_{n} - L | + | L | \forall n > N \\ | a_{n} | & \leq 1 + | L | \end{aligned}

Sea $M = max {| a_{1} |, . . ., | a_{n} |, 1 + | L |}$ . Tendremos que $| a_{n} | \leq M$ , $\forall n \in N$ . Por lo tanto, ${a_{n}}$ está acotada. $◼$