Problema 8
Demostrar que toda sucesión convergente es acotada.
Demostración. Decimos que \(\{a_n\}\) está acotada si \(\exists M\in\mathbb{R}^+\) tal que \(|a_n|\leq M\) para toda \(n\in\mathbb{N}\). Por hipótesis, \(\{a_n\}\) es convergen te, i.e.
$$ \forall \varepsilon > 0\; \exists N\in\mathbb{N}: n>N \implies |a_n-L| < \varepsilon $$En particular, para \(\varepsilon=1\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que \(|a_n-L| < 1\) para toda \(n > N\). Luego, obsérvese que
$$ \begin{align} |a_n| &= |(a_n-L) +L| \leq |a_n-L| +|L|\qquad \forall n>N\\ |a_n| &\leq 1+ |L| \end{align}$$Sea \(M=\max\{|a_1|,..., |a_n|, 1+ |L|\}\). Tendremos que \(|a_n|\leq M\), \(\forall n\in\mathbb N\). Por lo tanto, \(\{a_n\}\) está acotada. \(\blacksquare\)