Problema 7

Demostrar que toda sucesión de números reales tiene al menos una subsucesión creciente o una decreciente.

Demostración.

Sea \( \{a_n\} \) una sucesión no constante. Además, suponga \( \{b_n\} \) una subsucesión de \( \{a_n\} \) de tal modo que \( \forall x \in \{b_n\} \) también está en \( \{a_n\} \).

Puesto que \( \{a_n\} \) no es constante, existe al menos una subsucesión \( \{b_n\} \) en la que se cumple para cualesquiera dos elementos \( x_1 \neq x_2 \), es decir, se cumple que \( x_1 > x_2 \lor x_1 < x_2 \). En otras palabras, existe una subsucesión \( \{b_n\} \) creciente o decreciente. \( \blacksquare \)