Problema 7

Demostrar que toda sucesión de números reales tiene al menos una subsucesión creciente o una decreciente.

Demostración.

Sea ${a_{n}}$ una sucesión no constante. Además, suponga ${b_{n}}$ una subsucesión de ${a_{n}}$ de tal modo que $\forall x \in {b_{n}}$ también está en ${a_{n}}$ .

Puesto que ${a_{n}}$ no es constante, existe al menos una subsucesión ${b_{n}}$ en la que se cumple para cualesquiera dos elementos $x_{1} \neq x_{2}$ , es decir, se cumple que $x_{1} > x_{2} \lor x_{1} < x_{2}$ . En otras palabras, existe una subsucesión ${b_{n}}$ creciente o decreciente. $◼$