Demostrar que si \( (a_n) \rightarrow L \), entonces toda subsucesión de \((a_n)\) también converge a L.
Demostración. Sea \( \{a_n\} \) una sucesión convergente. Dado \( \varepsilon>0 \), existe un natural \(N\) tal que \(
|a_n-L|<\varepsilon \) para todo natura \( n \geq N\). Sea \( \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \) una subsucesión de \(
\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \). Existe algún \(K\) tal que \( n_K \geq N\). Como los términos de la subsucesión \(
\{a_{n_k}\} \) son términos de la sucesión \( \{a_n\} \) , para todo \( n_k \geq n_K \geq N \) se cumple \(
|a_{n_k}-L| < \varepsilon \) y, por tanto, la subsucesión converge a \(L\). \(\blacksquare\) \( \{a_n\}_{n \in
\mathbb{N}} \)