Problema 4
Demuestra que toda sucesión monótona decreciente y acotada converge a su ínfimo.
Definición 1. Una sucesión \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) es monótona decreciente si $$ \forall n \in \mathbb{N}: a_n \geq a_{n+1}. $$
Definición 2.
Una sucesión \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) está acotada si $$ \forall n \in \mathbb{N}, \exists M \in \mathbb{R}: |{a_n}| \leq M. $$Definición 3.
\( \beta = inf \{a_n | n \in \mathbb{N}\} \) es el ínfimo de una sucesión \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) si se cumple que: $$ \forall n \in \mathbb{N}, \beta \leq a_n $$ $$\forall \varepsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}: \beta + \varepsilon > a_{N}, \forall n \geq N. $$Demostración. Si \( \{a_n\} \) es monótona decreciente y acotada, pongamos \( \beta = inf \{a_k:k \in \mathbb{N}\} \) para probar que \( \{a_n\} \rightarrow \beta \). Dado \( \varepsilon >0\), por definición de ínfimo existe \(N \in \mathbb{N}\) tal que \( \beta + \varepsilon > a_N \). Pero entonces, para \(n \geq N\) se tendrá $$ \beta \leq a_n \leq a_N < \beta + \varepsilon $$ $$ \Longleftrightarrow \beta - \varepsilon < \beta \leq a_n \leq a_N < \beta + \varepsilon, $$ de donde \( |a_n-\beta|<\varepsilon\), es decir, \( \{a_n}