Problema 4

Demuestra que toda sucesión monótona decreciente y acotada converge a su ínfimo.

Definición 1. Una sucesión ${a_{n}}_{n \in N}$ es monótona decreciente si $\forall n \in N : a_{n} \geq a_{n + 1} .$

Definición 2.

Una sucesión

{a_{n}}_{n \in N}

está acotada si

\forall n \in N, \exists M \in R : | a_{n} | \leq M .

Definición 3.

β = i n f {a_{n} | n \in N}

es el ínfimo de una sucesión

{a_{n}}_{n \in N}

si se cumple que:

\forall n \in N, β \leq a_{n}

\forall ε > 0, \exists N \in N : β + ε > a_{N}, \forall n \geq N .

Demostración. Si ${a_{n}}$ es monótona decreciente y acotada, pongamos $β = i n f {a_{k} : k \in N}$ para probar que ${a_{n}} \to β$ . Dado $ε > 0$ , por definición de ínfimo existe $N \in N$ tal que $β + ε > a_{N}$ . Pero entonces, para $n \geq N$ se tendrá $β \leq a_{n} \leq a_{N} < β + ε$ $⟺ β - ε < β \leq a_{n} \leq a_{N} < β + ε,$ de donde $| a_{n} - β | < ε$ , es decir, \( \{a_n}