Problema 17

Usando el teorema del valor intermedio, demuestra que \(f(x)=x^4+x-3\) tiene una raíz en \([1,2]\).

Demostración. Por definición, si \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), \(c\) es una raíz de \(f\) si \(f(c)=0\).

Ahora, como \(f:[1,2]\rightarrow \mathbb{R}\), con \(f(x)=x^4+x-3\), basta demostrar que \(\exists c \in [1,2]:f(c)=0\). Más aún, podemos ver que:

\(f(1)=1^4+1-3=-1\) y que \(f(2)=2^4+2-3=15\); de manera que \(f(a) < 0\) y \(f(b) > 0\).

Así, como \(f\) es continua en todo su dominio y, en particular, en \(x=0\); por el teorema del valor intermedio: