Problema 38

Demostrar que \(\displaystyle \lim_{x\to 0} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 0\)

**Trabajo previo

Sea \(|x\sin\left(\frac{1}{x} \right) - 0| < \varepsilon\) $$ \iff |x \sin \left(\frac{1}{x} \right)| < \varepsilon $$ $$ \iff |x| |\sin\left(\frac{1}{x} \right)| < \varepsilon $$ $$ \iff |x| < \varepsilon $$

Y esto último se asegura porque \(|\sin\theta|\leq 1\) para cualquier \(\theta\).

Demostración. Sea \(\delta=\varepsilon\). Por hipótesis, se tiene \(0 < |x| < \varepsilon\), y por el trabajo previo se sigue que \( |x \sin \left(\frac{1}{x}\right) - 0| < \varepsilon\). Así, \(\forall\epsilon > 0 \; \exists \delta > 0: 0 < |x| < \varepsilon\implies |x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-0| < \varepsilon\)