Problema 38

Demostrar que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0}$

**Trabajo previo

Sea $|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|<\epsilon$ $$⟺|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)|<\epsilon$$ $$⟺|x||\sin \left(\frac{1}{x}\right)|<\epsilon$$ $$⟺|x|<\epsilon$$

Y esto último se asegura porque $|\sin \theta |\le 1$ para cualquier $\theta$.

Demostración. Sea $\delta =\epsilon$. Por hipótesis, se tiene $0<|x|<\epsilon$, y por el trabajo previo se sigue que $|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|<\epsilon$. Así, $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0:0<|x|<\epsilon ⟹|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|<\epsilon$