Problema 34

Demostrar que $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{6x+1}{2x+1}=3$

Definición. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L\iff \forall \varepsilon > 0 \;\exists N>0: x>N\implies |f(x)-L| < \varepsilon $

**Trabajo previo

Sea $|\frac{6x+1}{2x+1}-3| < \varepsilon$

$$ \iff \left| \frac{6x+1-6x-3}{2x+1}\right| < \varepsilon $$ $$ \iff \left| \frac{-2}{2x+1}\right| < \varepsilon $$ $$ \iff \frac{2}{2x+1} < \varepsilon $$

Esto último se asegura porque $x > 0$. Continuando,

$$ \iff \frac{2}{\varepsilon} < 2x+1 $$ $$ \iff \frac{1}{2}\left(\frac{2}{\varepsilon} - 1\right) < x $$

Demostración. Sea $N = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\varepsilon}-1\right)$. Por hipótesis $x > N$, por lo que $x > \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\varepsilon} - 1\right)$ y, por el trabajo previo, se concluye que $|\frac{6x+1}{2x+1} - 3| < \varepsilon$. Así, $\forall \varepsilon > 0 \;\exists N > 0: x > N\implies |\frac{6x+1}{2x+1}-3| < \varepsilon$. $\blacksquare$