Problema 34

Demostrar que $lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 1}{2 x + 1} = 3$

Definición. $lim_{x \to \infty} f (x) = L ⟺ \forall ε > 0 \exists N > 0 : x > N ⟹ | f (x) - L | < ε$

**Trabajo previo

Sea $| \frac{6 x + 1}{2 x + 1} - 3 | < ε$

⟺ | \frac{6 x + 1 - 6 x - 3}{2 x + 1} | < ε

⟺ | \frac{- 2}{2 x + 1} | < ε

⟺ \frac{2}{2 x + 1} < ε

Esto último se asegura porque $x > 0$ . Continuando,

⟺ \frac{2}{ε} < 2 x + 1

⟺ \frac{1}{2} (\frac{2}{ε} - 1) < x

Demostración. Sea $N = \frac{1}{2} (\frac{2}{ε} - 1)$ . Por hipótesis $x > N$ , por lo que $x > \frac{1}{2} (\frac{2}{ε} - 1)$ y, por el trabajo previo, se concluye que $| \frac{6 x + 1}{2 x + 1} - 3 | < ε$ . Así, $\forall ε > 0 \exists N > 0 : x > N ⟹ | \frac{6 x + 1}{2 x + 1} - 3 | < ε$ . $◼$