Problema 33

Demostrar el siguiente límite: \( \lim\limits_{x\to 5^+} \frac{1}{x-5}=\infty \)

Definición. \( \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x) = \infty \iff \forall M > 0\, \exists \delta > 0: 0 < x-x_0 < \delta \implies f(x)>M\)

**Trabajo previo

Sea \(\frac{1}{x-5}>M \iff \frac{1}{M}>x-5 \)

Demostración. Sea \(\delta = \frac{1}{M}\). Por hipótesis, \(0 < x-5 < \delta\) y por el trabajo previo se concluye que \(\frac{1}{x-5} > M\). Así, \(\forall M > 0\; \exists \delta > 0: 0 < x-5 < \delta \implies \frac{1}{x-5} > M\). \(\blacksquare\)