Demostrar que todo número tiene una raíz cuadrada.
P.D. Si \( \alpha >0 \) entonces existe \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( x^2=\alpha \).
Demostración. Sea \( f(x)=x^2 \) continua en todo \(\mathbb{R}\). En particular \(f\) es continua en
el intervalo \([0,b]\). A saber
$$ \exists b >0: \alpha < f(b).$$
Por lo que tendremos dos casos:
- Si \(\alpha < 1 \) hacemos \( b=1\),
- Si \(\alpha > 1 \) hacemos \( b=\alpha\).
Por hipótesis sabemos que \( f(0) < \alpha < f(b)\). Sea \( g(x)=f(x)-\alpha\),
$$ f(0) < \alpha < f(b) \Longleftrightarrow f(0)-\alpha < \alpha-\alpha < f(b)-\alpha \Longleftrightarrow
g(0) < 0 < g(b) $$
Por el teorema del valor intermedio, si \(g(x)\) es continua en \([0,b]\) y \( g(0) < 0 < g(b) \), entonces existe
algún \(x \in [0,b]\) tal que \( g(x)=0 \). Pero \(g(x)=f(x)-\alpha\). Luego, \(f(x)-\alpha = 0 \Longleftrightarrow
f(x) = \alpha \Longleftrightarrow x^2=\alpha\). \( \quad \blacksquare\)