Problema 29

Demostrar que si \(f\) es continua en \( [a,b] \), entonces \(f\) está acotada inferiormente y alcanza su mínimo en \([a,b]\).

P.D. \(f\) está acotada inferiormente.

Demostración. Sea \(f\) continua en \( [a,b] \). Ahora bien, suponga que \(f\) no está acotada inferiormente en \( [a,b] \).

Puesto que \(f\) es continua a la derecha de \(a\), entonces existe un \( \delta > 0\) tal que \( | f(x) - f(a) | < \varepsilon \) para toda \( x \in [a, a + \delta] \). De tal modo que \(f\) está acotada por \( f(a) + \varepsilon \) y \( f(a) - \varepsilon \) en dicho intervalo.

Ya que \(f\) es continua a la izquierda de \(b\), entonces existe un \( \delta > 0\) tal que \( | f(x) - f(b) | < \varepsilon \) para toda \( x \in [b - \delta, b] \). De tal modo que \(f\) está acotada por \( f(b) + \varepsilon \) y \( f(b) - \varepsilon \) en dicho intervalo.

Como \(f\) está acotada en los intervalos \([a, a + \delta]\) y \([b - \delta, b]\) se sigue entonces que, \(f\) está acotada inferiormente y superiormente acotada en el intervalo \([a,b]\). Lo cual, al ser \(f\) continua en \( [a,b] \) y suponer que no está acotada inferiormente en dicho intervalo, nos lleva a una contradicción. Por tanto, \(f\) debe estar acotada en dicho intervalo. \( \quad \blacksquare \)

P.D. \(f\) alcanza su mínimo en \([a,b]\), i.e. \( \exists y \in [a,b]: f(y) ≤ f(x), \quad \forall x \in [a,b] \)

Demostración. Suponga a \(f\) continua en \( [a,b] \). Puesto que \(f\) es continua, entonces se sabe que el conjunto \( X = \{ f(x): x \in [a,b] \} \) está acotado. Observe que \( X \neq \varnothing \), consecuentemente, \(X\) tiene una máxima cota inferior a la que dontaremos por \(\beta\). Ya que, \(\beta ≤ f(x), \forall x \in [a,b]\), basta con demostrar que \( \beta = f(y) \) para alguna \(y \in [a,b]\).

Por el contrario, suponga que \(\beta \neq f(y), \forall y \in [a,b]\). Ahora bien, denote la función \(g\) como

Observe que \(g\) es continua en \([a,b]\) ya que el denominador nunca se vuelve 0.

Por otra parte, \( \beta \) es la máxima cota inferior de \( X \), lo cual quiere decir que

Esto último, quiere decir que

Sin embargo, esto último quiere decir que \(g\) no está acotada en \([a,b]\), contradiciendo el teorema previament demostrado.