Problema 29

Demostrar que si f es continua en [a,b], entonces f está acotada inferiormente y alcanza su mínimo en [a,b].

P.D. f está acotada inferiormente.

Demostración. Sea f continua en [a,b]. Ahora bien, suponga que f no está acotada inferiormente en [a,b].

Puesto que f es continua a la derecha de a, entonces existe un δ>0 tal que |f(x)−f(a)|<ε para toda x∈[a,a+δ]. De tal modo que f está acotada por f(a)+ε y f(a)−ε en dicho intervalo.

Ya que f es continua a la izquierda de b, entonces existe un δ>0 tal que |f(x)−f(b)|<ε para toda x∈[b−δ,b]. De tal modo que f está acotada por f(b)+ε y f(b)−ε en dicho intervalo.

Como f está acotada en los intervalos [a,a+δ] y [b−δ,b] se sigue entonces que, f está acotada inferiormente y superiormente acotada en el intervalo [a,b]. Lo cual, al ser f continua en [a,b] y suponer que no está acotada inferiormente en dicho intervalo, nos lleva a una contradicción. Por tanto, f debe estar acotada en dicho intervalo. ◼

P.D. f alcanza su mínimo en [a,b], i.e. ∃y∈[a,b]:f(y)≤f(x),∀x∈[a,b]

Demostración. Suponga a f continua en [a,b]. Puesto que f es continua, entonces se sabe que el conjunto X={f(x):x∈[a,b]} está acotado. Observe que X≠∅, consecuentemente, X tiene una máxima cota inferior a la que dontaremos por β. Ya que, β≤f(x),∀x∈[a,b], basta con demostrar que β=f(y) para alguna y∈[a,b].

Por el contrario, suponga que β≠f(y),∀y∈[a,b]. Ahora bien, denote la función g como

g(x)=1f(x)−β,x∈[a,b]

Observe que g es continua en [a,b] ya que el denominador nunca se vuelve 0.

Por otra parte, β es la máxima cota inferior de X, lo cual quiere decir que

∀ε>0,∃x∈[a,b]con f(x)−β<ε

Esto último, quiere decir que

∀ε>0,∃x∈[a,b]con g(x)>1ε

Sin embargo, esto último quiere decir que g no está acotada en [a,b], contradiciendo el teorema previament demostrado.