Problema 28

Teorema del punto fijo. Sea $f:[0,1]\to [0,1]$ continua. Entonces existe algún $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=x$.

Demostración. Como $\text{Dom}(f)=[0,1]$ y $\text{Cod}(f)=[0,1]$, obsérvese que solamente se puede tener que $f(0)\ge 0$ y $f(1)\le 1$. Si $f(0)=0$ o bien $f(1)=1$, no hay nada que demostrar, pues ya hallamos la $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=x$. Así, supongamos que $f(0)>0$ y $f(1)<1$. Dada esta suposición, y sabiendo que tanto la identidad como $f$ son continuas en $[0,1]$, por el inciso (b) del problema 27, tomando $f(x)=f(x)$ y $g(x)=x$, se tiene que existe $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=x$. $◼$