Problema 28

Teorema del punto fijo. Sea \(f: [0,1] \to [0,1]\) continua. Entonces existe algún \(x\in[0,1]\) tal que \(f(x) = x\).

Demostración. Como \(\text{Dom}(f)=[0,1]\) y \(\text{Cod}(f)=[0,1]\), obsérvese que solamente se puede tener que \(f(0)\geq 0\) y \(f(1)\leq 1\). Si \(f(0) = 0\) o bien \(f(1) = 1\), no hay nada que demostrar, pues ya hallamos la \(x\in[0,1]\) tal que \(f(x) = x\). Así, supongamos que \(f(0) > 0\) y \(f(1) < 1\). Dada esta suposición, y sabiendo que tanto la identidad como \(f\) son continuas en \([0,1]\), por el inciso (b) del problema 27, tomando \(f(x)=f(x)\) y \(g(x)=x\), se tiene que existe \(x\in[0,1]\) tal que \(f(x)=x\). \(\blacksquare\)