Problema 27

Usa el teorema del valor intermedio para probar que:

a. Si \(f\) es continua en \([a, b]\) y \(f(a) < c < f(b)\), entonces existe algún \(x\) en \([a, b]\) tal que \(f(x)=c\).

b. Si \(f\) y \(g\) son funciones continuas en \([a, b]\) y \(f(a) < g(a)\) y \(g(b) < f(b)\), entonces existe algún \(x\) en \([a, b]\) tal que \(f(x)=g(x)\).

Demostración. a.

Sea \(h\) definida por \(h(x)=f(x)-c\). Obsérvese que las funciones \(f\) y constante son ambas continuas en \([a, b]\), por lo que su diferencia debe serlo también; así, \(h\) es continua. Más aún, como \(f(a) < c < f(b)\) se tiene que

$$ h(a) = f(a)-c < 0 $$ $$ h(b) = f(b)-c > 0 $$

Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, existe alguna \(x\in[a, b]\) tal que \(h(x)=0\), i.e. una \(x\in[a, b]\) tal que \(f(x)-c=0\) y \(f(x)=c\). \(\blacksquare\)

Demostración. b.

Sea \(h\) definida por \(h(x)=f(x)-g(x)\). Obsérvese que las funciones \(f\) y \(g\) son ambas continuas en \([a,b]\), por lo que su diferencia debe serlo también; así, \(h\) es continua. Más aún, como \(f(a) < g(a)\) y \(g(b) < f(b)\) se tiene que $$ h(a) = f(a)-g(a) < 0

$$ h(b) = f(b)-g(b) > 0 $$

Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, existe alguna \(c\in[a, b]\) tal que \(h(c)=0\), i.e. una \(c\in[a, b]\) tal que \(f(c)-g(c)=0\) y \(f(c)=g(c)\). \(\blacksquare\)