Problema 26

Teorema del valor intermedio. Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f (a) < 0 < f (b)$ , entonces existe algún $x$ en $[a, b]$ tal que $f (x) = 0$ . Demostrar usando el método de bisección de Bolzano.

Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ de la gráfica de una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ están situados en diferentes lados del eje $x$ , entonces la gráfica interseca al eje en algún punto entre $a$ y $b$ . Claro que pueden haber varias intersecciones.

Demostración (Método de Bisección de Bolzano). Supongamos que $f (a) < 0$ y $f (b) > 0$ . (La demostración sería análoga si supusiéramos $f (a) > 0$ y $f (b) < 0$ ).

Consideremos el punto medio de $[a, b]$ :

\frac{a + b}{2}

Si $f (\frac{a + b}{2}) = 0$ queda demostrado el teorema. Sino, $f$ será positiva o negativa en $\frac{a + b}{2}$ .

Tomemos una de las mitades del intervalo $[a, b]$ donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos $a_{1}$ y $b_{1}$ a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos $[a_{1}, b_{1}]$ a la mitad. Si $f$ no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde $f$ tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos $a_{2}$ y $b_{2}$ .

Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos

[a, b], [a_{1}, b_{1}], [a_{2}, b_{2}], . . .

tales que

a \leq a_{1} \leq a_{2} \leq . . . \leq a_{n} y b \geq b_{1} \geq b_{2} \geq . . . \geq b_{n} .

Es decir, Los

a_{i}

forman una sucesión creciente, los

b_{i}

forman una sucesión decreciente y se cumple que

a_{i} < b_{i}, \forall i \in N

Veamos cúal es el $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n})$ .

$b_{n} - a_{n}$ es la longitud del intervalo $[a_{n}, b_{n}]$ . La longitud del intervalo $[a_{1}, b_{1}]$ es $\frac{b - a}{2}$ , la mitad de la longitud de $[a, b]$ que es $b - a$ . La longitud del intervalo $[a_{2}, b_{2}]$ es $\frac{b - a}{2^{2}}$ , la mitad de la longitud de $[a_{1}, b_{1}]$ que es $\frac{b - a}{2}$ . Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo $[a_{n}, b_{n}]$ es $\frac{b - a}{2^{n}}$ .

De modo que,

lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{2^{n}} = 0.

Cuando tenemos una sucesión de intervalos como los anteriores, se dice que es una sucesión de intervalos anidados o encajados. Entonces se cumplirá el siguiente teorema:

Teorema de los intervalos anidados de Cantor. Para cada $n \in N$ , sea $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ un intervalo cerrado en $R$ . Si

$I_{n + 1} \subset I_{n}$ , para cad $n \in N$
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0.$

Entonces, existe un único punto $c \in R$ tal que $c$ pertence a todos los intervalos $I_{n}$ . Es decir ${c} = \cap_{n \in N} I_{n} .$