Problema 25

Supóngase que \(|f(x)|\leq |x|\), para toda \(x\). Demuestre que \(f\) es continua en \(x=0\).

Dem. Nótese que \(|a|\geq 0\;\forall a\in\mathbb{R}\). Como \(|f(x)|\leq |x|\), se tiene que \(0\leq |f(x)|\leq |x|\). En particular, \(0\leq |f(0)|\leq |0|=0\), por lo que \(f(0)=0\). Así, se demostrará que \(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0\).

Sea \(\delta = \varepsilon \; \forall \varepsilon>0\), y sea \(0 < |x| < \delta\). Como \(|f(x)|\leq |x|\), se obtiene que \(|f(x)| < \delta=\varepsilon\), por lo que \(\forall\varepsilon > 0\;\exists\delta > 0:\)

Por lo que \(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\) y \(f\) es continua en \(x=0\). \(\blacksquare\)