Problema 24

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? Justifica tu respuesta.

Si $g$ es continua en $a$ , y $f$ es continua en $a$ entonces $f \circ g$ es continua en $a$ .
Si $g$ es continua en $a$ , y $f$ es continua en $g (a)$ entonces $f \circ g$ es continua en $a$ .

Recordemos que

f \circ g = f (g (x))

. Para saber si

f

compuesta con

g

es continua en

a

, habría que analizar el siguiente límite:

lim_{x \to a} f (g (x))

Para ello, sea

z = g (x)

, si

x \to a

entonces

z \to g (a)

. Así, tendremos que

lim_{x \to a} f (g (x)) = lim_{z \to g (a)} f (z) = f (g (a))

El resultado anterior nos dice que $f$ debe ser continua en $g (a)$ ; pues, aunque hayamos hecho un cambio de variable, $f$ sigue estando en función de $x$ . Además, nótese que la existencia de $g (a)$ proviene de la hipótesis de que $g$ es continua en $a$ .

Por el análisis anterior, ya podemos decir cuál de las proposiciones (a) y (b) es la verdadera y cuál la falsa. La proposición (a) no menciona la hipótesis de que $f$ sea continua en a, por lo tanto, decimos que en general esta afirmación es falsa. Por el contrario, la proposición (b) cumple con las hipótesis necesarias para que $f \circ g$ sea continua en a, es decir, es verdadera.

Aclarado lo anterior, podemos enunciar la siguiente proposición verdadera, la cual habría que demostrar: Si $g$ es continua en $a$ , y $f$ es continua en $g (a)$ entonces $f \circ g$ es continua en $a$ .