Problema 24

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? Justifica tu respuesta.

  1. Si \(g\) es continua en \(a\), y \(f\) es continua en \(a\) entonces \(f \circ g \) es continua en \(a\).
  2. Si \(g\) es continua en \(a\), y \(f\) es continua en \(g(a)\) entonces \(f \circ g \) es continua en \(a\).
Recordemos que \(f \circ g = f(g(x)) \). Para saber si \(f\) compuesta con \(g\) es continua en \(a\), habría que analizar el siguiente límite: $$ \displaystyle \lim_{x\to a} f(g(x)) $$ Para ello, sea \(z=g(x)\), si \(x \to a\) entonces \(z \to g(a)\). Así, tendremos que $$ \displaystyle \lim_{x\to a} f(g(x)) = \displaystyle \lim_{z\to g(a)} f(z) = f(g(a)) $$

El resultado anterior nos dice que \(f\) debe ser continua en \(g(a)\); pues, aunque hayamos hecho un cambio de variable, \(f\) sigue estando en función de \(x\). Además, nótese que la existencia de \(g(a)\) proviene de la hipótesis de que \(g\) es continua en \(a\).

Por el análisis anterior, ya podemos decir cuál de las proposiciones (a) y (b) es la verdadera y cuál la falsa. La proposición (a) no menciona la hipótesis de que \(f\) sea continua en a, por lo tanto, decimos que en general esta afirmación es falsa. Por el contrario, la proposición (b) cumple con las hipótesis necesarias para que \(f \circ g\) sea continua en a, es decir, es verdadera.

Aclarado lo anterior, podemos enunciar la siguiente proposición verdadera, la cual habría que demostrar: Si \(g\) es continua en \(a\), y \(f\) es continua en \(g(a)\) entonces \(f \circ g \) es continua en \(a\).