Problema 23

Demuestra que las siguientes funciones son continuas en su dominio.

a. \(\sqrt{x}\) en \([0, \infty)\)

P.D. \(\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}\;\forall a\in[0,\infty)\)

**Trabajo previo

Supóngase que \(|\sqrt{x}-\sqrt{a}| < \varepsilon\). Como \(\sqrt{x} > 0\) y \(\sqrt{a}>0\), \(\sqrt{x}+\sqrt{a}>0\) y $$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|(\sqrt{x}+\sqrt{a}) < \varepsilon(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$ $$\iff |(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})| < \varepsilon(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$ $$\iff |x-a| < \varepsilon(\sqrt{x}+\sqrt{a})\qquad(a.1)$$

Supóngase que \(\delta < 1 \), de donde

$$|x-a| < 1$$ $$-1 < x-a < 1$$ $$-1+a < x < 1+a $$ $$\sqrt{x} < \sqrt{1+a}$$ $$\sqrt{x}+\sqrt{a} < \sqrt{1+a}+\sqrt{a}\qquad(a.2)$$

De \((a.1)\) y \((a.2)\),

$$|x-a| < \varepsilon(\sqrt{1+a}+\sqrt{a})$$

Dem. Sea \(\delta=\min\{1,\varepsilon(\sqrt{1+a}+\sqrt{a})\}\). Del trabajo previo se sigue que para toda \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta=\min\{1,\varepsilon(\sqrt{1+a}+\sqrt{a})\}\) tal que

$$|x-a| < \delta\implies |\sqrt{x}-\sqrt{a}| < \varepsilon$$

Por lo que \(\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}\;\forall a\in[0,\infty)\) y \(\sqrt{x}\) es continua en todo su dominio. \(\blacksquare\)

b. \(\frac{1}{x}\) en \(\mathbb{R} \backslash \{0\}\) Se demostrará que \(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{1}{x}=\frac{1}{a}\;\forall a\in\mathbb{R} \backslash \{0\}\).

**Trabajo previo

Supóngase que \(|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}| < \varepsilon\)

$$\iff \left| \frac{a-x}{ax}\right| < \varepsilon$$ $$\iff \left| \frac{x-a}{ax}\right| < \varepsilon$$ $$\iff |x-a| < \varepsilon |ax|\qquad(b.1)$$ Supóngase que \(\delta < 1\), de donde $$|x-a| < 1$$ $$-1 < x-a < 1$$ $$-1+a < x < 1+a $$ $$ a(-1+a) < ax < a(1+a) $$ $$ |ax| < |a(1+a)| \qquad(b.2) $$

De \((b.1)\) y \((b.2)\),

$$\iff |x-a| < \varepsilon |a(1+a)|$$

Dem. Sea \(\delta=\min\{1,\varepsilon |a(1+a)|\}\). Del trabajo previo se sigue que para toda \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta=\min\{1,\varepsilon |a(1+a)|\}\) tal que

$$|x-a| < \delta\implies \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right| < \varepsilon$$

Por lo que \(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{1}{x}=\frac{1}{a}\;\forall a\in\mathbb{R} \backslash \{0\}\) y \(\frac{1}{x}\) es continua en todo su dominio. \(\blacksquare\)