Problema 21

Dada la siguiente gráfica de una función f(x):

Calcular los siguiente:

1. limx→2+f(x)=

Este tipo de límites se pueden calcular con tal solo observar la gráfica. En este caso, el resultado es infinito positivo; sin embargo, vamos a complementar la respuesta con su justificación mediante la definición de límite infinito: limx→2+f(x)=∞⟺∀ε>0,∃M>0:0<x−2<M→f(x)>M

2. limx→2−f(x)=

limx→2−f(x)=−∞⟺∀ε<0,∃M>0:0<2−x<M→f(x)<M

3. limx→3+f(x)=

limx→3+f(x)=0⟺∀ε>0,∃δ>0:0<x−3<δ→|f(x)−0|<ε 4. limx→3−f(x)= limx→3−f(x)=1⟺∀ε>0,∃δ>0:0<3−x<δ→|f(x)−1|<ε 5. limx→3f(x)= Dado que limx→3+f(x)≠limx→3−f(x), se dice que limx→3f(x)=∄, es decir, no existe. 6. f(3)= Nótese que el punto (3,3) forma parte de f(x), por lo cual, f(3)=3. 7. limx→−∞f(x)= limx→−∞f(x)=0⟺∀ε>0,∃M<0:x<M→|f(x)−0|<ε Las definiciones mencionadas son muy importantes y la mayoría de las veces no se les da mucha importancia como a la definición formal de límite que todos conocemos, la cual vale la pena enunciar a continuación: limx→af(x)=L⟺∀ε>0,∃δ>0:0<|x−a|<δ→|f(x)−L|<ε.