Problema 2

Demostrar por medio de la definición que:

a)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{r^n}\right)=0\text{, si }r > 1\text{, ¿qué se puede decir cuando }r < 1\text{?}$

**Trabajo previo

Sea $|\frac{1}{r^n}| < \varepsilon$. Como $r > 1$, $r^n > r > 1$. Así, $\frac{1}{r^n} < \varepsilon$ y $\frac{1}{\varepsilon} < r^n$. Esto último es cierto si y solo si $n > \log_{r} (\frac{1}{\varepsilon})$

Demostración. Sea $N=\lceil\log_{r}(\frac{1}{\varepsilon})\rceil$. Si $n > N$, entonces $n > \log_{r}(\frac{1}{\varepsilon})$. Del trabajo previo se sigue que para todo $\varepsilon > 0$ existe $N=\lceil\log_{r}(\frac{1}{\varepsilon})\rceil$ tal que

$$ n > N \implies \left|\left(\frac{1}{r^n}\right)-0\right| < \varepsilon\qquad\blacksquare $$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-2}\right)=1$

**Trabajo previo

Sea $|\frac{n+1}{n-2}-1| < \varepsilon$.

$$ \iff \left|\frac{n+1-n+2}{n-2}\right| < \varepsilon $$ $$ \iff \left|\frac{3}{n-2}\right| < \varepsilon $$ $$ \iff \frac{3}{n-2} < \varepsilon $$ $$ \iff \frac{3}{\varepsilon} < n-2 $$ $$ \iff \frac{3}{\varepsilon}+2 < n $$

Dem. Sea $N=\lceil\frac{3}{\varepsilon}+2\rceil$. Si $n > N$, entonces $n > \frac{3}{\varepsilon}+2$. Del trabajo previo se sigue que para todo $\varepsilon > 0$ existe $N = \lceil \frac{3}{\varepsilon} + 2\rceil\in\mathbb{N}$ tal que

$$ n > N \implies \left|\frac{n+1}{n-2}-1\right| < \varepsilon\qquad\blacksquare$$

c) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right)=0$

**Trabajo previo

Sea $|\frac{(-1)^{n+1}}{n}| < \varepsilon$. $$ \iff\frac{1}{n} < \varepsilon $$ $$ \iff\frac{1}{\varepsilon} < n $$

Demostración. Sea $N=\lceil\frac{1}{\varepsilon}\rceil$. Si $n > N$, entonces $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Del trabajo previo se sigue que para todo $\varepsilon > 0$ existe $N=\lceil\frac{1}{\varepsilon}\rceil\in\mathbb{N}$ tal que

$$n>N\implies\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| < \varepsilon\qquad\blacksquare$$

d) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{n+1}\right)=2$

**Trabajo previo

Sea $|\frac{2n}{n+1}-2| < \varepsilon$.

$$ \iff\left|\frac{2n-2n-2}{n+1}\right| < \varepsilon$$ $$ \iff\left|\frac{-2}{n+1}\right| < \varepsilon$$ $$ \iff\frac{2}{n+1} < \varepsilon$$ $$ \iff\frac{2}{\varepsilon} < n+1$$ $$ \iff\frac{2}{\varepsilon}-1 < n$$

Demostración. Sea $N=\lceil\frac{2}{\varepsilon}-1\rceil$. Si $n > N$, entonces $n > \frac{2}{\varepsilon}-1$. Del trabajo previo se sigue que para todo $\varepsilon > 0$ existe $N = \lceil\frac{2}{\varepsilon}-1 \rceil\in\mathbb{N}$ tal que

$$ n > N\implies\left|\frac{2n}{n+1} -2 \right| < \varepsilon\qquad\blacksquare$$

e) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{2n+3}\right) = \text{ ?}$

**Trabajo previo

Primero se calculará el límite para poder realizar la demostración.

$$ \begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{2n+3}\right) & = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n}{n} + \frac{3}{n}}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2+\frac{3}{n}}\right)\\ &=\frac{1}{2+\frac{3}{\infty}}\\ &=\frac{1}{2} \end{align} $$

Por lo que se demostrará que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{2n+3}\right)=\frac{1}{2}$

Sea $|\frac{n}{2n+3}-\frac{1}{2}| < \varepsilon$. $$ \iff\left|\frac{n-n-\frac{3}{2}}{2n+3}\right| < \varepsilon $$ $$ \iff\left|\frac{-\frac{3}{2}}{2n+3}\right| < \varepsilon $$ $$ \iff\frac{3}{4n+6} < \varepsilon $$ $$ \iff\frac{2}{\varepsilon} < 4n+6 $$ $$ \iff\frac{1}{4}\left(\frac{2}{\varepsilon}-6\right) < n $$

Dem. Sea $N = \lceil\frac{1}{4}\left(\frac{2}{\varepsilon} - 6\right)\rceil$. Si $n > N$, entonces $n > \frac{1}{4}\left(\frac{2}{\varepsilon} - 6\right)$. Del trabajo previo se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N=\lceil\frac{1}{4} \left(\frac{2}{\varepsilon} - 6\right) \rceil \in \mathbb{N}$ tal que

$$ n > N \implies\left|\frac{n}{2n+3} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon\qquad\blacksquare $$