Problema 2

Demostrar por medio de la definición que:

a) $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{r^{n}}) = 0, si r > 1, ¿qué se puede decir cuando r < 1 ?$

**Trabajo previo

Sea $| \frac{1}{r^{n}} | < ε$ . Como $r > 1$ , $r^{n} > r > 1$ . Así, $\frac{1}{r^{n}} < ε$ y $\frac{1}{ε} < r^{n}$ . Esto último es cierto si y solo si $n > \log_{r} (\frac{1}{ε})$

Demostración. Sea $N = ⌈ \log_{r} (\frac{1}{ε}) ⌉$ . Si $n > N$ , entonces $n > \log_{r} (\frac{1}{ε})$ . Del trabajo previo se sigue que para todo $ε > 0$ existe $N = ⌈ \log_{r} (\frac{1}{ε}) ⌉$ tal que

n > N ⟹ | (\frac{1}{r^{n}}) - 0 | < ε ◼

lim_{n \to \infty} (\frac{n + 1}{n - 2}) = 1

**Trabajo previo

Sea $| \frac{n + 1}{n - 2} - 1 | < ε$ .

⟺ | \frac{n + 1 - n + 2}{n - 2} | < ε

⟺ | \frac{3}{n - 2} | < ε

⟺ \frac{3}{n - 2} < ε

⟺ \frac{3}{ε} < n - 2

⟺ \frac{3}{ε} + 2 < n

Dem. Sea $N = ⌈ \frac{3}{ε} + 2 ⌉$ . Si $n > N$ , entonces $n > \frac{3}{ε} + 2$ . Del trabajo previo se sigue que para todo $ε > 0$ existe $N = ⌈ \frac{3}{ε} + 2 ⌉ \in N$ tal que

n > N ⟹ | \frac{n + 1}{n - 2} - 1 | < ε ◼

c) $lim_{n \to \infty} (\frac{(- 1)^{n + 1}}{n}) = 0$

**Trabajo previo

Sea

| \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} | < ε

⟺ \frac{1}{n} < ε

⟺ \frac{1}{ε} < n

Demostración. Sea $N = ⌈ \frac{1}{ε} ⌉$ . Si $n > N$ , entonces $n > \frac{1}{ε}$ . Del trabajo previo se sigue que para todo $ε > 0$ existe $N = ⌈ \frac{1}{ε} ⌉ \in N$ tal que

n > N ⟹ | \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} | < ε ◼

d) $lim_{n \to \infty} (\frac{2 n}{n + 1}) = 2$

**Trabajo previo

Sea $| \frac{2 n}{n + 1} - 2 | < ε$ .

⟺ | \frac{2 n - 2 n - 2}{n + 1} | < ε

⟺ | \frac{- 2}{n + 1} | < ε

⟺ \frac{2}{n + 1} < ε

⟺ \frac{2}{ε} < n + 1

⟺ \frac{2}{ε} - 1 < n

Demostración. Sea $N = ⌈ \frac{2}{ε} - 1 ⌉$ . Si $n > N$ , entonces $n > \frac{2}{ε} - 1$ . Del trabajo previo se sigue que para todo $ε > 0$ existe $N = ⌈ \frac{2}{ε} - 1 ⌉ \in N$ tal que

n > N ⟹ | \frac{2 n}{n + 1} - 2 | < ε ◼

e) $lim_{n \to \infty} (\frac{n}{2 n + 3}) = ?$

**Trabajo previo

Primero se calculará el límite para poder realizar la demostración.

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} (\frac{n}{2 n + 3}) & = lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2 n}{n} + \frac{3}{n}}) \\ = lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2 + \frac{3}{n}}) \\ = \frac{1}{2 + \frac{3}{\infty}} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

Por lo que se demostrará que $lim_{n \to \infty} (\frac{n}{2 n + 3}) = \frac{1}{2}$

Sea

| \frac{n}{2 n + 3} - \frac{1}{2} | < ε

⟺ | \frac{n - n - \frac{3}{2}}{2 n + 3} | < ε

⟺ | \frac{- \frac{3}{2}}{2 n + 3} | < ε

⟺ \frac{3}{4 n + 6} < ε

⟺ \frac{2}{ε} < 4 n + 6

⟺ \frac{1}{4} (\frac{2}{ε} - 6) < n

Dem. Sea $N = ⌈ \frac{1}{4} (\frac{2}{ε} - 6) ⌉$ . Si $n > N$ , entonces $n > \frac{1}{4} (\frac{2}{ε} - 6)$ . Del trabajo previo se sigue que para todo $ε > 0$ existe $N = ⌈ \frac{1}{4} (\frac{2}{ε} - 6) ⌉ \in N$ tal que

n > N ⟹ | \frac{n}{2 n + 3} - \frac{1}{2} | < ε ◼