Problema 19
Observación. \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)\)
Demostración.
P.D. \(f\) es continua en \(a\)
\( \implies) \) Suponga que \( \lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{h \to 0}f(a+h) \). Sea \( \varepsilon > 0 \). Así pues, se está buscando un \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < | x- a | < \delta \) entonces \( 0 < | f(x) - f(a) | < \varepsilon \)
Sea \( a + h = x \). De tal modo que
$$ \lim\limits_{h \to 0}f(a+h) = f(a) $$Consecuentemente, se sigue
$$ 0 < | h | < \delta \implies | f(a+h)- f(a) | < \varepsilon $$ $$ \begin{align} 0 < | x - a | < \delta & \implies | f(a + x - a)- f(a) | < \varepsilon \\ & \implies | f(x)- f(a) | < \varepsilon \end{align} $$Por tanto, \(f\) es continua en \(a\).
P.D. \( \lim\limits_{h \to 0}f(a+h) = f(a) \)
\( \impliedby) \) Suponga que \(f\) es continua en \(a\). Sea \( g(h) = a + h \). Así pues
$$ \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} f(a+h) & = \lim\limits_{h \to 0} f(g(h)) \\ & = f \left( \lim\limits_{h \to 0} g(h) \right) \quad \quad f \text{ es continua} \\ & = f \left( \lim\limits_{h \to 0} a + h \right) \\ & = f(a) \end{align} $$De esta manera, se ha conseguido lo que se quería probar. \( \quad \blacksquare \)