Problema 18

Si alguno o ambos límites ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)}$ y ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)}$ no existen, ¿puede existir ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left(\frac{f}{g}\right)(x)}$?

Solución: Sí. Obsérvese el siguiente ejemplo:

Sean $f$ y $g$ definidas por $f(x)=g(x)=\frac{1}{x}$, y tómese el límite en cero. Se tiene que

$$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$$

Y, sin embargo, no existe ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}}$ (i.e. no existe ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}f(x)}$ ni ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}g(x)}$).