Problema 17

Si alguno o ambos límites $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$ no existen, ¿puede existir $\displaystyle\lim_{x\to a}(f\cdot g)(x)$?

Solución: Sí. Obsérvese el siguiente ejemplo:

Sean $f$ y $g$ definidas por $f(x)=x$ y $g(x)=\frac{1}{x}$, y tómese el límite en cero. Se tiene que $$\lim_{x\to0}(f\cdot g)(x)=\lim_{x\to0}\left(x\cdot\frac{1}{x}\right)=1$$ Sin embargo, no existe $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ (i.e. no existe $\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)$).