Problema 15

Suponga que \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = F \) y \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = G \), con \(F\),\(G\) números reales. Demostrar:
  1. \( \lim\limits_{x \to a}(f + g)(x) = F + G \)
  2. \( \lim\limits_{x \to a}(fg)(x) = FG \)

Definición (\( \varepsilon, \delta \))

Inciso a.

P.D. \( \forall \varepsilon > 0\), \(\exists \delta > 0 \) tal que, si \( 0 < |x-a| < \delta \), entonces \( | f(x) + g(x) - (F+G) | < \varepsilon \)

Demostración.

  1. Puesto que, \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = F \). Se tiene, entonces que \( \forall \varepsilon_1 > 0\), \(\exists \delta_1 > 0 \) tal que, si \( 0 < |x-a| < \delta_1 \), entonces \( | f(x) - F | < \varepsilon_1 \)
  2. Puesto que, \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = G \). Se tiene, entonces que \( \forall \varepsilon_2 > 0\), \(\exists \delta_2 > 0 \) tal que, si \( 0 < |x-a| < \delta_2 \), entonces \( | g(x) - G | < \varepsilon_2 \)

Suponga que \( \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2} \) y \( \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2} \). Además, que \( \delta = min\{\delta_1, \delta_2\} \). Consecuentemente se tiene entonces

$$ \text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x) - F | < \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{y} \quad | g(x) - G | < \frac{\varepsilon}{2} $$ $$ \text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x) - F | + |g(x) - G | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

Por la desigualdad del triángulo ( \( |x+y| ≤ |x| + |y| \) ) se obtiene

$$ \text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x) - F + g(x) - G | ≤ | f(x) - F | + |g(x) - G | < \varepsilon $$

Reacomodando los términos, se sigue

$$ \text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x) + g(x) - (F + G) | < \varepsilon $$

Que es precisamente lo que queríamos demostrar. \( \quad \blacksquare \)

Inciso b.

P.D. \( \forall \varepsilon > 0\), \(\exists \delta > 0 \) tal que, si \( 0 < |x-a| < \delta \), entonces \( | f(x)g(x) - FG | < \varepsilon \)

Demostración. b.

  1. Puesto que, \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = F \). Se tiene, entonces que \( \forall \varepsilon_1 > 0\), \(\exists \delta_1 > 0 \) tal que, si \( 0 < |x-a| < \delta_1 \), entonces \( | f(x) - F | < \varepsilon_1 \)
  2. Puesto que, \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = G \). Se tiene, entonces que \( \forall \varepsilon_2 > 0\), \(\exists \delta_2 > 0 \) tal que, si \( 0 < |x-a| < \delta_2 \), entonces \( | g(x) - G | < \varepsilon_2 \)

Suponga que \( \varepsilon_1 = \sqrt{\varepsilon} \) y \( \varepsilon_2 = \sqrt{\varepsilon} \). Además, que \( \delta = min\{\delta_1, \delta_2\} \). Consecuentemente se tiene entonces

$$\text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x) - F | < \sqrt{\varepsilon} \quad \text{y} \quad | g(x) - G | < \sqrt{\varepsilon} $$ $$ \text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x) - F | | g(x) - G | < \sqrt{\varepsilon} \sqrt{\varepsilon} = \varepsilon $$ $$ \text{Si} \quad 0 < |x-a| < \delta, \text{ entonces } | f(x)g(x) - G f(x) - F g(x) + FG | < \varepsilon $$

Observe que

$$ \begin{align} (f(x) - F)(g(x) - G) & = f(x)g(x) - G f(x) - F g(x) + FG \\ f(x)g(x) & = (f(x) - F)(g(x) - G) + G f(x) + F g(x) - FG \end{align} $$

Tomando el límite

$$ \begin{align} \lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) & = \lim\limits_{x \to a} ( f(x) - F ) ( g(x) - G ) + \lim\limits_{x \to a} G f(x) + \lim\limits_{x \to a} F g(x) - \lim\limits_{x \to a} FG \\ & = 0 + \lim\limits_{x \to a} G f(x) + \lim\limits_{x \to a} F g(x) - \lim\limits_{x \to a} FG \\ & = GF + FG - FG \\ & = FG \end{align} $$ \( \blacksquare \)

Definición de límite

Demostración. a.

Demostración. b.