Encuentra las asíntotas de la función \(f(x)=\frac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5}\)
Definición 1. Se llama asíntota vertical de una una curva a la recta paralela al eje \(Y\) que hace que la rama de dicha
curva tienda a infinito. Si existe alguno de estos dos límites:
$$\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty$$
$$\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm\infty$$
a la recta \(x=a\) se le denomina asíntota vertical.
Convención: El dominio de \(f(x)\) determina las asíntotas verticales.
Definición 2. Se llama asíntota horizontal de una curva a la recta paralela al eje X que hace que la rama de dicha curva
tienda a infinito. Si existe el límite
$$\lim_{x\to \pm \infty} f(x) =a$$
la recta \(y=a\) es una asíntota horizontal.
Sol. Sea \(f(x)=\frac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5}\). Nótese que \(3x-5\not = 0\), por lo que \(x\not = \frac{3}{5}\); es decir,
\(f\) tiene una asíntota vertical en \(x= \frac{3}{5}\). En efecto,
$$\lim_{x\to \frac{3}{5}^+} f(x) = \infty$$
$$\lim_{x\to \frac{3}{5}^-} f(x) = -\infty$$
Para saber si \(f(x)\) tiene asíntotas horizontales, calculamos los siguientes límites:
$$\begin{align} \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5} &=\lim_{x\to \infty}
\frac{\sqrt{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}}{\frac{3x}{x}-\frac{5}{x}} = \lim_{x\to \infty}
\frac{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}}{3-\frac{5}{x}}\\ &=
\frac{\sqrt{2+\frac{1}{\infty^2}}}{3-\frac{5}{\infty}}=\frac{\sqrt{2}}{3} \end{align}$$
$$\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5} = \lim_{x\to \infty}
\frac{\sqrt{x^2(2+\frac{1}{x^2}})}{x(3-\frac{5}{x})} = \lim_{x\to \infty}
\frac{|x|\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}}{x(3-\frac{5}{x})}$$
Como \(x\to-\infty\), \(|x|=-x\), de donde
$$\begin{align} \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5} =\lim_{x\to \infty}
-\frac{\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}}{3-\frac{5}{x}}=
-\frac{\sqrt{2+\frac{1}{\infty^2}}}{3-\frac{5}{\infty}}=-\frac{\sqrt{2}}{3} \end{align}$$
Por lo tanto, \(f\) tiene una asíntota vertical en \(x= \frac{3}{5}\) y dos asíntotas horizontales, una en
\(y=\frac{\sqrt{2}}{3}\) y otra en \(y=-\frac{\sqrt{2}}{3}\).