Problema 10

Demostrar que toda sucesión acotada tiene al menos una subsucesión convergente.

Demostración. El resultado del problema 7 afirma la existencia de una subsucesión monótona (ya sea creciente o decreciente) de cualquier sucesión. Sea \(\{a_n\}\) la sucesión y \(\{b_n\}\) su subsucesión monótona, donde se cumple que \(\{b_n\}\subseteq\{a_n\}\). Como \(\{a_n\}\) es acotada, \(\{b_n\}\) también lo es, pues \(\exists M\in\mathbb{R}\;\forall a_n:\, a_n\leq M\) y toda \(b_n\) es alguna \(a_m\). Así, como el problema 4 afirma que cualquier sucesión decreciente y acotada converge (y lo equivalente se cumple para funciones crecientes), entonces la sucesión \(\{b_n\}\subseteq\{a_n\}\) converge. \(\blacksquare\)