Problema 10

Demostrar que toda sucesión acotada tiene al menos una subsucesión convergente.

Demostración. El resultado del problema 7 afirma la existencia de una subsucesión monótona (ya sea creciente o decreciente) de cualquier sucesión. Sea ${a_{n}}$ la sucesión y ${b_{n}}$ su subsucesión monótona, donde se cumple que ${b_{n}} \subseteq {a_{n}}$ . Como ${a_{n}}$ es acotada, ${b_{n}}$ también lo es, pues $\exists M \in R \forall a_{n} : a_{n} \leq M$ y toda $b_{n}$ es alguna $a_{m}$ . Así, como el problema 4 afirma que cualquier sucesión decreciente y acotada converge (y lo equivalente se cumple para funciones crecientes), entonces la sucesión ${b_{n}} \subseteq {a_{n}}$ converge. $◼$