Problema 1

Supóngase lo contrario, i.e. el conjunto $\mathbb{N}$ está acotado superiormente. Como $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$, el axioma del supremo garantiza la existencia del supremo de $\mathbb{N}$. Sea $M=\text{sup}(\mathbb{N})$. Así, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ $M\ge n$. Si $n\in \mathbb{N}$, entonces $n+1\in \mathbb{N}$ y $M\ge n+1$, por lo que $M-1\ge n$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ !

El absurdo se garantiza porque $M$ es la mínima cota superior, y se encontró una más pequeña. Así, no existe ninguna cota superior de $\mathbb{N}$. $◼$