Problema 1
Demostración.
Supóngase lo contrario, i.e. el conjunto \(\mathbb{N}\) está acotado superiormente. Como \(\mathbb{N}\subset\mathbb{R}\), el axioma del supremo garantiza la existencia del supremo de \(\mathbb{N}\). Sea \(M=\text{sup}(\mathbb{N})\). Así, \(\forall n\in\mathbb{N}\) \(M\geq n\). Si \(n\in\mathbb{N}\), entonces \(n+1\in\mathbb{N}\) y \(M\geq n+1\), por lo que \(M-1\geq n\) \(\forall n\in\mathbb{N}\) !
El absurdo se garantiza porque \(M\) es la mínima cota superior, y se encontró una más pequeña. Así, no existe ninguna cota superior de \(\mathbb{N}\). \(\blacksquare\)