Problema 32
- Demuestra que si \(z\) es irracional y \(r\not=0\) es racional, entonces su producto es irracional. Dar por hecho los axiomas de \(\mathbb{}\) y que los enteros son cerrados bajo sumas y productos.
- Demuestra que si \(z\) es irracional y \(r\) es racional, entonces su suma es irracional. Dar por hecho los axiomas de \(\mathbb{}\) y que los enteros son cerrados bajo sumas y productos.
P32.A
Demostración.Supóngase lo contrario; es decir, \(z\in\mathbb{Q}'\), \(r\in\mathbb{Q}\) y \(z\cdot r \in \mathbb{Q}\).
Por la definición de racional se puede escribir que \( r = \frac{a}{b} \), con \( a , b \in \mathbb{Z} \), \(b \not = 0 \) y \( a \not = 0 \) (esto último porque \( r \not = 0 \) ) \(z \cdot r = \frac{c}{d} \), con \(c,d \in \mathbb{Z}\), \(d\not=0\)
Así, se tiene que $$ z=(z\cdot r)\cdot \frac{1}{r}$$ $$ z=\frac{c}{d}\cdot \frac{b}{a}$$ $$ z=\frac{cb}{da}\qquad\text{por el problema 4, inciso f}$$
Como \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\), la propiedad de cerradura del producto afirma que \(cb\in\mathbb{Z}\) y \(da\in\mathbb{Z}\). Además, como \(a\not=0\) y \(d\not=0\), \(da\not=0\). Luego \(z\in\mathbb{Q}\)
Por lo tanto, \(z\cdot r\) es irracional. \(\blacksquare\)
P32.B
Demostración.Supóngase lo contrario; es decir, \(z\in\mathbb{Q}'\), \(r\in\mathbb{Q}\) y \(z+r\in\mathbb{Q}\). Por la definición de racional se puede escribir que \(r=\frac{a}{b}\), con \(a,b\in\mathbb{Z}\), \(b\not=0\) y \(a\not=0\) (esto último porque \(r\not=0\)) \(z+r=\frac{c}{d}\), con \(c,d\in\mathbb{Z}\), \(d\not=0\) Así, se tiene que $$z=(z+r)-r$$ $$z=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$$ $$z=\frac{bc-ad}{bd}\qquad\text{por el problema 4, inciso h}$$
Como \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\), las propiedades de cerradura del producto y la suma afirman que \(bc-ad\in\mathbb{Z}\) y \(bd\in\mathbb{Z}\). Además, como \(b\not=0\) y \(d\not=0\), \(bd\not=0\). Luego \(z\in\mathbb{Q}\) !
Por lo tanto, \(z+r\) es irracional. \(\blacksquare\)