Problema 31
Demostración.
Por contradicción, supóngase que \(\sqrt{2}\) es racional, es decir,
$$ \sqrt{2}=\frac{p}{q}: p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 $$ Se puede suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de \(p\) y \(q\) es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto \(p/q\) es irreducible. Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad, tendremos que
$$ 2=\frac{p^{2}}{q^{2}} \implies 2q^{2}=p^{2} $$ De donde \(p^{2}\) debe ser múltiplo de 2, lo cual implica que \(p\) también es múltiplo de 2; es decir, \(p=2k\) para un cierto \(k \in \mathbb{R}\). Sustituyendo este valor de \(p\) en la expresión anterior y simplificando, se tendrá lo siguiente:
\(2q^{2}=(2k)^{2} \implies q^{2}=2k^{2}\)
Esta última expresión nos asegura que \(q^{2}\) es múltiplo de 2 y por tanto \(q\) también lo es. Sin embargo, se ha llegado a un absurdo, pues habíamos supuesto que \(mcd(p, q)=1\) y hemos llegado a que \(p\) y \(q\) son múltiplos de 2. Por lo tanto, \(p/q\) no es irreducible y \(\sqrt{2}\) es irracional.
\(\blacksquare\)