Problema 29

Demuestra que \(\forall \varepsilon > 0\;\exists n\in\mathbb{N}:0 < \frac{1}{n} < \varepsilon\).

Demostración.

Como \(n > 0\) \(\forall n\in\mathbb{N}\), inmediatamente se sigue del problema 5 que \(\frac{1}{n} > 0\).

Supóngase que \( \exists \varepsilon > 0\) tal que para cualquier \(n \in \mathbb{N}\), \( \frac{1}{n} > \varepsilon \). De ahí se sigue que \( \forall n \in \mathbb{N}\) \(n < \frac{1}{\varepsilon} \) !

Y el absurdo se garantiza porque el conjunto \(\mathbb{N}\) no está acotado superiormente (por el problema 23). \(\blacksquare\)