Problema 28

Sea S un conjunto no vació acotado de números reales. Sean \(a>0>b\). Investiga cúal es el conjunto \(aS\) y \(bS\).
Definición 1. \(aS=\{as: s \in S\}\)
Definición 2. \(bS=\{bs: s \in S\}\)
Axioma del supremo. Todo conjunto no vació y acotado de números reales tiene supremo.
Demostrar lo siguiente:
  1. \(inf(aS)=aInfS\)
  2. \(sup(aS)=aSupS\)
  3. \(inf(bS)=bSupS\)
  4. \(sup(bS)=bInfS\)

P28.A

Demostración
Si \(\beta=infS \implies \beta \leq s, \forall s \in S\), por definición de ínfimo.
Como \(a > 0 \implies a\beta \leq as, \forall s \in S\)
\(\therefore inf(aS)=a\beta=aInfS=a\beta\). \(\blacksquare\)

P28.B

Demostración
Si \(\alpha=supS \implies \alpha \geq s, \forall s \in S\), por definición de supremo.
Como \(a > 0 \implies a\alpha \geq as, \forall s \in S\)
\(\therefore sup(aS)=a\alpha=aSupS=a\alpha\). \(\blacksquare\)

P28.C

Demostración
Si \(\alpha=supS \implies \alpha \geq s, \forall s \in S\), por definición de supremo.
Como \(b < 0 \implies b\alpha \leq bs, \forall s \in S\)
\(\therefore inf(bS)=b\alpha=bSupS=b\alpha\). \(\blacksquare\)

P28.D

Demostración
Si \(\beta=infS \implies \beta \leq s, \forall s \in S\), por definición de infimo. Como \(b < 0 \implies b\beta \geq bs, \forall s \in S\) \(\therefore sup(bS)=b\beta=bInfS=b\beta\). \(\blacksquare\)