Problema 27
Antes de iniciar con la demostración, vamos a realizar algunas aclaraciones sobre la notación para, así, proceder de modo adecuado con la prueba.
Sea \( A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \} \)
Demostración. Sean \( \alpha = sup(A) \) y \( \beta = sup(B) \)
\( a \leq \alpha \) \( \forall a \in A \) y \( b \leq \beta \) \( \forall b \in B \)\( a + b \leq \alpha + \beta \), \( \therefore \alpha + \beta \) es cota superior de \( A + B \)
\( \impliedby \) ) Por demostrar \( sup(A) + sup(B) \leq sup(A+B) \)
Suponga que \( sup(A) + sup(B) > sup(A+B) \), \( \alpha + \beta > sup(A+B) \), por tanto \( \exists \epsilon > 0 \) tal que \( \alpha + \beta = sup(A+B) + \epsilon \implies \alpha = (sup(A+B) - \beta ) + \epsilon \)
\( a > sup(A) - \frac{\epsilon}{2} \)\( b > sup(B) - \frac{\epsilon}{2} \)
\( a + b > sup(A) + sup(B) - \epsilon \)
\( a + b > sup(A+B) \) !
\( sup(A+B) \leq sup(A) + sup(B) \)
\( sup(A+B) = sup(A) + sup(B) \)