Problema 25

Sea A un conjunto no vacío de números reales. Demuestre que, si A tiene ínfimo, entonces sólo tiene un único ínfimo.

Lema.

Si \(a \leq b\) y \(b \leq a\), entonces \(a=b\).

Demostración. Supóngase que \(\alpha\) y \(\beta\) son el ínfimo de A, entonces

\(\alpha\) es cota inferior de A, \(i.e.\)
\(\alpha \geq x\) para toda cota inferior \(x\) de A; y \(\beta\) es cota inferior de A, es decir,
\(\beta \geq x\) para toda cota inferior \(x\) de A.
Como \(\alpha=infA\), entonces \(\alpha \geq \beta\)
y como \(\beta=infA\), entonces \(\beta \geq \alpha\).
Por lo tanto, si \(\alpha \geq \beta\) y \(\beta \geq \alpha\), entonces \(\alpha=\beta\).
\(\blacksquare\)