Problema 20

1. \(1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}\)
2. \(1 + 2^{n} \leq 3^{n},\; \forall n \in \mathbb{N}\)
3. \(1+r^1+r^2+...+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}\qquad r\not=1\)
4. Demuestra la desigualdad de Bernoulli.
5. \(2^{n} < n!\)
6. Para cualesquiera \(b_{1},b_{2},...,b_{n} \in \mathbb{R}\), demuestre que $$ \vert b_1+b_2+...+b_n \rvert \leq \lvert b_1 \rvert + \lvert b_2 \rvert + ... + \lvert b_{n} \rvert $$
7. Demuestra que \(\forall n \in\mathbb{N}\), \(n^{3} + 2n\) es divisible por 3.

P20.A

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$ \sum_{i=1}^1 i^3 = 1^3 = 1 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = \left[\frac{1(1+1)}{2}\right]^2 $$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$ \sum_{i=1}^k i^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 $$
• Paso inductivo.
$$ \sum_{i=1}^{k+1} i^3=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2 $$ Por H.I. $$ \sum_{i=1}^k i^3+(k+1)^3=\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2+(k+1)^3 $$ $$ \sum_{i=1}^{k+1} i^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 $$ $$ \sum_{i=1}^{k+1} i^3=(k+1)^2\left[\frac{k^2}{4}+k+1\right] $$ $$ \sum_{i=1}^{k+1} i^3=(k+1)^2\left[\frac{k^2+4k+4}{4}\right] $$ $$ \sum_{i=1}^{k+1} i^3=(k+1)^2\frac{(k+2)^2}{4} $$ $$ \sum_{i=1}^{k+1} i^3=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2\qquad\blacksquare $$

P20.B

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$ 1+2^{1} = 3 \leq 3^{1} $$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$ 1+2^{k} \leq 3^{k} $$
• Paso inductivo.
$$ 1+2^{k+1}\leq 3^{k+1} $$ Por H.I., $$ 3(1+2^{k}) \leq 3(3^k) $$ $$ 3(1+2^{k}) \leq 3^{k+1} $$ Asimismo, $$ 3(1+2^k)=(2+1)(1+2^k)=1+2^{k+1}+2^k+2 $$ Como \(2^k+2\geq 0\), entonces \(1+2^{k+1}+2^k+2 \geq 1+2^{k+1}\). Por transitividad, $$ 1+2^{k+1}\leq 3^{k+1}\qquad\blacksquare $$

P20.C

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$\sum_{i=1}^1 r^{i-1}=r^0=1=\frac{1-r^1}{1-r}\text{ con }r\not=1$$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$\sum_{i=1}^k r^{i-1}=\frac{1-r^k}{1-r}\text{ con }r\not=1$$
• Paso inductivo.
$$\sum_{i=1}^{k+1} r^{i-1}=\frac{1-r^{k+1}}{1-r}\text{ con }r\not=1$$ Por H.I. $$\sum_{i=1}^k r^{i-1}+r^k=\frac{1-r^k}{1-r}+r^k\text{ con }r\not=1$$ $$\sum_{i=1}^{k+1} r^{i-1}=\frac{1-r^k+r^k-r^{k+1}}{1-r}\text{ con }r\not=1$$ $$\sum_{i=1}^{k+1} r^{i-1}=\frac{1-r^{k+1}}{1-r}\text{ con }r\not=1\qquad\blacksquare$$

P20.D

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$\sum_{i=1}^1 (3i-1)=2=\frac{4}{2}=\frac{1(3\cdot 1+1)}{2}$$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$\sum_{i=1}^k (3i-1)=\frac{k(3k+1)}{2}$$
• Paso inductivo.
$$\sum_{i=1}^{k+1} (3i-1)=\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$$ Por H.I. $$\sum_{i=1}^k (3i-1)+3(k+1)-1=\frac{k(3k+1)}{2}+3(k+1)-1$$ $$\sum_{i=1}^{k+1} (3i-1)=\frac{3k^2+k+6k+6-2}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{k+1} (3i-1)=\frac{3k^2+7k+4}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{k+1} (3i-1)=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{k+1} (3i-1)=\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\qquad\blacksquare$$

P20.E

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$(1+x)^1=1+x=1+1\cdot x$$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$(1+x)^k \geq 1+kx$$
• Paso inductivo.
$$(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$$ Por la H.I., como \(x\geq -1\), $$(1+x)^k(1+x)\geq (1+kx)(1+x)$$ $$(1+x)^{k+1}\geq 1+x+kx+kx^2$$ $$(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^2$$ Como \(k\in\mathbb{N}\) y \(x^2\geq 0\), \(kx^2\geq 0\) y \(1+(k+1)x\leq 1+(k+1)x+kx^2\). Por transitividad, $$(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x\qquad\blacksquare$$

P20.F

• Base inductiva. Para \(n=4\)
$$ 2^4 = 16 < 24 = 4!$$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$2^k < k!$$
• Paso inductivo.
$$2^{k+1} <(k+1)!$$ Por H.I. $$2^k(k+1) < k!(k+1)$$ $$2^k(k+1) < (k+1)!$$ Y como \(k \leq 4\), \(k+1 > 2\) y \(2\cdot2^{k} < 2^k(k+1)\), así que \(2^{k+1} < 2^k(k+1)\) y, por transitividad, $$ 2^{k+1} < (k+1)! \qquad\blacksquare $$

P20.G

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$|b_1|\leq |b_1|$$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$|b_1+b_2+...+b_k|\leq |b_1|+|b_2|+...+|b_k|$$
• Paso inductivo. Por demostrar que
$$|b_1+b_2+...+b_{k+1}|\leq |b_1|+|b_2|+...+|b_{k+1}|$$ Por H.I. $$|b_1+b_2+...+b_k|+|b_{k+1}|\leq |b_1|+|b_2|+...+|b_k|+|b_{k+1}|$$ Sea \(a=b_1+...+b_k\). Se tiene $$|a|+|b_{k+1}|\leq |b_1|+...+|b_{k+1}|$$ Por la desigualdad del triángulo, \(|a+b_{k+1}|\leq |a|+|b_{k+1}|\), y por transitividad $$|a+b_{k+1}|\leq |b_1|+...+|b_{k+1}|$$ Y revirtiendo la sustitución, $$|b_1+b_2+...+b_{k+1}|\leq |b_1|+|b_2|+...+|b_{k+1}|\qquad\blacksquare$$

P20.H

• Base inductiva. Para \(n=1\)
$$ 1^3 + 2(1) = 1 + 2 = 3 = 3 \cdot 1$$
• Hipótesis inductiva. Para \(n=k\)
$$k^3+2k=3m\qquad\text{p.a. }m\in\mathbb{N}$$
• Paso inductivo. Por demostrar que
$$(k+1)^3+2(k+1)=3m'\qquad\text{p.a. }m'\in\mathbb{N}$$ $$(k+1)^3+2(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2$$ $$(k+1)^3+2(k+1)=k^3+2k+3k^2+3k+3$$ $$(k+1)^3+2(k+1)=k^3+2k+3(k^2+k+1)$$ Por H.I. $$(k+1)^3+2(k+1)=3m+3(k^2+k+1)$$ $$(k+1)^3+2(k+1)=3(m+k^2+k+1)$$ Y por la propiedad de cerradura de la suma en \(\mathbb{N}\), \(m+k^2+k+1\in\mathbb{N}\). Sea \(m'=m+k^2+k+1\in\mathbb{N}\). Se tiene $$(k+1)^3+2(k+1)=3m'\qquad\qquad\blacksquare$$