Problema 19
Teorema. Sean \(a, b\) y \(c\) números reales, si \(a < b\) y \(c < 0\), entonces \(ac > bc\)
Demostración. Por hipótesis, \(a < b\)
\(\implies -b < -a \quad \) Por Teorema 1\(a > 0\) y \(b > 0 \quad \) Por hipótesis
\(\implies -b + ab < -a + ab \quad \) Aditividad
\(\implies b(a-1) < a(b-1) \quad \) Distributividad
Si \(b > 1 \Rightarrow b-1 > 0 \quad \)
\(\implies \frac{b(a-1)}{b-1} < \frac {a(b-1)}{b-1} \quad \) Propiedad multiplicativa
\(\implies \frac{b(a-1)}{b-1} < a \quad \)
Como \(b > 0\), entonces
\(\frac{b(a-1)}{b(b-1)} < \frac{a}{b} \quad \) Propiedad multiplicativa
\(\implies \frac{a-1}{b-1} < \frac{a}{b} \quad \)
\(\blacksquare\)